Из папки Входящие пропали старые письма, но если включить поиск конкретного старого письма их находит! В чем проблема?

Если находит значит письма не удалены, а просто не показываются в общем списке.
Это глюк почты. Обращайтесь в службу поддержки через форму : http://help.mail.ru/mail-support/interface/other/

Или по адресам : support_team@corp.mail.ru / support@corp.mail.ru
Нормальную работу Вашего ящика восстановят.