Существуют ли такие натуральные числа, что произведение суммы его цифр на их количество равно 5533?

Далее нужно рассмотреть последнюю цифру квадратов цифр, на которые может заканчиваться сумма цифр числа:

0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81

Т.е. любое число в квадрате заканчивается на одну из следующих цифр: 0 1 4 5 6 9

Чтобы в итоге при умножении суммы цифр на длину числа получилась тройка в конце, необходимо, чтобы сумма цифр оканчивалась на 1 или 9.

1*3 = 3
9*7 = 63

В таком случае предпоследняя цифра суммы цифр числа должна быть только 1. Именно только она даёт 33 в последних двух цифрах произведения:

11*3 = 33
19*7 = 33

Далее нужно нужно найти такие числа вида ab11 и ab19 где a = {0..9}, b = {1..9}, при делении 5533 на которое, остаток равен нулю:

Упс!
Таких чисел нет.
Значит можем смело сказать, что таких чисел нет!