Что следует из ...

Теорема о причёсывании ежа утверждает, что не существует ненулевого непрерывного касательного векторного поля на сфере. Если f — непрерывная функция, задающая касательный к сфере вектор в каждой её точке, то существует хотя бы одна точка p такая, что f(p) = 0.

Теорема является простым следствием из теоремы о неподвижной точке, доказанной в 1912 году Брауэром [1][2].

С более общей точки зрения, можно показать, что определённая сумма нулей такого векторного поля должна равняться 2, Эйлеровой характеристике двумерной сферы, поэтому должен существовать хотя бы один нуль. Это следствие теоремы Пуанкаре о векторном поле. Для двумерного тора Эйлерова характеристика равна 0, поэтому его «можно причесать». В общем, любое непрерывное касательное векторное поле на компактном регулярном двумерном многообразии с ненулевой эйлеровой характеристикой имеет хотя бы один нуль.

Второй вариант «теоремы о еже» выглядит так. Пусть f — ненулевое непрерывное векторное поле на сфере. Тогда существует точка, в которой поле перпендикулярно сфере. Эту теорему можно проиллюстрировать так. Пусть сфера — свернувшийся в клубок ёж, вектор — колючка. Тогда такого сферического «ежа» нельзя причесать так, чтобы он нигде не кололся (без вихров и проборов).