Договор безвозмездного пользования жилым помещением ( квартирой) дает право на прописку

Да, дает.
Только договор должен быть в письменной форме, к нему должна быть приложена копия свидетельства о праве собственности, в нем должно быть четко определено прав и обязанностей лица, которому предоставляется жилое помещение.
Нотариального заверения договора закон не требует, так что обращение к нотариусу носит добровольный характер. Государственная регистрация таких договоров также не требуется.