какое проверочное слово к слову дорожка проверяем первую букву о?

А нет его у него.
От индоевроп. *dorgh- (связано с дёргать и означает «продранное в лесу пространство») ; отсюда же, наряду с русск. дорога: русск. -церк. -слав. подрагъ «край» , укр. доро́га, болг. даро́га, сербск. -церк. -слав. драга «долина» , сербохорв. дра̏га, словенск. drága «овраг, лощина» , др. -чешск. dráha «дорога» , польск. droga «дорога» , в. -луж. dróha «след, дорога, улица» , н. -луж. droga «улица» . Использованы данные словаря М. Фасмера; см. Список литературы.
В этимологии нужно искать.