Базу топологии составляют открытые шары. Что такое открытые шары как база топологии по проще? В школу поздно идти уже.

Вообще-то, базу топологии составляют количественные характеристики геометрических объектов, остающиеся инвариантами при любых деформациях объекта, кроме склеивания и разрезания.
А открытый шар это просто шар без его внешней границы.
Обычно говорят, что метрическое пространство взаимно однозначно отображается на открытый шар. Или говорят, что метрическое пространство топологически эквиваленно открытому шару. То есть любой точке пространства можно поставить в соответствие одну точку открытого шара. И наоборот.
Шар, разумеется, должен иметь размерность пространства. Например, бесконечная плоскость отображается на открытый круг, а прямая отображается на открытый отрезок.