Какие слова и выражения в русском языке нужно писать через дефис, а какие нет?

Если ваш случай не подпадает под эти правила, значит, там этого дефиса нет:

§42Правописание сложных сущ

Дефисное написание:

4. Пишутся через дефис, как правило, сложные имена сущ без соед гласной, обозначающие названия механизмов, а также научные, технические, общественно-политические термины, например: автомат-укладчик, автомат-нивелир, кресло-кровать, плащ-палатка; пила-рыба; премьер-министр
(Через дефис пишутся слова с первой частью блок- и пресс-: блок-аппарат, блок-диаграмма, блок-механизм, блок-сигнал, блок-система (но блокнот, блокгауз) ; пресс-атташе)
5. Пишутся через дефис сложные единицы измерения, например: грамм-атом (грамм-калория, грамм-молекула и т. п.) , килограмм-час, тонно-километр, человеко-день, человеко-койка (исключения: трудодень, трудочас)
6. Пишутся через дефис составные названия политических течений, а также их сторонников: социал-демократы
7. Пишутся через дефис названия промежуточных стран света: юго-восток
8.через дефис слова с иноязычными элементами вице-, лейб-, обер-, унтер-, штаб-, экс- в первой части, например: вице-адмирал, лейб-гвардия, обер-кондуктор, унтер-офицер, штаб-лекарь, экс-чемпион, экс-вице-премьер (с двумя дефисами)
9. Пишутся через дефис сложные названия растений, имеющие в своем составе глагол в личной форме или союз, например: любишь-не-любишь, не-тронь-меня, иван-да-марья, мать-и-мачеха
10. Пишутся через дефис сложные слова, в которых к основному слову присоединяется слово с оценочным значением, например: бой-баба, гоп-компания, горе-руководитель, паинька-мальчик, чудо-рыба, ура-патриотизм.
11. Пишутся через дефис научно-технические термины, в состав которых входят названия букв или буквы (чаще всего греческого и латинского алфавитов) , например: альфа-частица, гамма-излучение, икс-лучи (х-лучи) , к-частица, пи-мезон.
12. Прил, образованные от геогр названий с дефисным написанием, сохраняют в своем написании дефис, например: Алма-Ата – алма-атинский (этому же правилу подчиняется цепочка ку-клукс-клан – ку-клукс-клановский – куклуксклановец)
13. При сочетании с помощью союза и двух или нескольких сложных сущ с одинаковой второй частью эта часть может приводиться только при последнем слове, а при предшествующих словах вместо нее пишется так называемый ВИСЯЧИЙ ДЕФИС: газо- и электросварка (ср. газосварка и электросварка) ; водо- и газоснабжение
- ---
Собственные имена лиц:

- В сложных фамилиях, пишущихся через ДЕФИС, каждая часть начин с прописной буквы, например: Салтыков-Щедрин
- Двойные (тройные и т. д. ) нерусские имена пишутся все с прописной буквы, раздельно или через ДЕФИС в зависимости от того, склоняются или не склоняются все части (например, франц составные имена, в которых первое имя в косвенных падежах обычно остается без изменения, как правило, соединяются ДЕФИСОМ, например: Жан-Жак Руссо - Жан-Жака Руссо)
- В восточных (арабских, тюркских и др. ) личных наименованиях начальная или конечная составная часть, обозначающ социальное положение, родственные отношения и т. д. , пишется со строчной буквы и, как правило, присоединяется к последующей части ДЕФИСОМ, например: Хасан аль-Бакр, Омар аш-Шариф, Салах зуль-Фикар, Мохаммед эль-Куни, Сулейман-паша, Измаил-бей, Кёр-оглы, Турсун-заде. С прописной буквы пишется начальное Ибн, например: Ибн-Сина (Авиценна)
- С прописной буквы присоединяются ДЕФИСОМ Мак-, Сан-, Сен-, Сент-, например: Мак-Доуэлл, Сан-Мартин, Сен-Жюст, Сент-Бёв
- Частица сан в японских именах пишется со строчной буквы и присоединяется ДЕФИСОМ: Тояма-сан (при обращении)
- ----
Части сложных ГЕОГРАФИЧЕСКИХ НАЗВАНИЙ пишутся с прописной буквы, причем соединяются дефисом, если они образованы:
а) сочет 2 сущ со значением частей объекта или единого объекта: Эльзас-Лотарингия
б) сочетанием сущ с последующим прил: Новгород-Северский, Переславль-Залесский;
в) сложным прил: : Западно-Сибирская низменность Военно-Грузинская дорога

(продолжение в комментариях)