Чем A mother отличается от THE mother

A - какой-то случайный человек, the - конкретный.

В английском языке артикли "a" (или "an") и "the" играют важную роль, поскольку они помогают уточнить значение существительных. Разница между "a mother" и "the mother" действительно значительная и зависит от контекста, в котором используются эти фразы.

A Mother
Неопределённый артикль "a" используется, когда говорится о чём-то в общем, не конкретизированном смысле.
"A mother" можно перевести как "мама" или "одна мама", не указывая на конкретную персону. Это может быть любая мама в общем смысле слова.
Пример использования: "A mother always worries about her children." (Мама всегда беспокоится о своих детях.) Здесь не важно, о какой именно маме идёт речь; утверждение считается верным для любой мамы.
The Mother
Определённый артикль "the" указывает на конкретный объект или персону, о которых говорят или которые уже упоминались в дискурсе.
"The mother" переводится как "мать" или "эта мать", имея в виду конкретную женщину, которая уже была упомянута или точно определена контекстом.
Пример использования: "The mother who called yesterday is waiting outside." (Мать, которая звонила вчера, ждёт снаружи.) Здесь "the mother" относится к определённой маме, о которой уже шла речь.
Примеры для наглядности
В общем смысле:

A mother can do anything for her child. (Мама может сделать всё для своего ребёнка.)
Здесь мы говорим о мамах в целом, это утверждение верно для любой мамы.
В конкретной ситуации:

The mother of the boy who won the competition is here. (Мать мальчика, который выиграл соревнование, здесь.)
Здесь мы говорим о конкретной маме конкретного мальчика.
Зависимость от контекста
Если мы говорим о роли или должности, часто используем "a": She became a mother last year. (Она стала мамой в прошлом году.)
Если мы говорим о конкретной женщине, рассматриваемой в определённой роли или ситуации, используем "the": The mother of the bride wore a beautiful dress. (Мать невесты была в красивом платье.)
Таким образом, выбор между "a" и "the" зависит от того, хотим ли мы сказать о чём-то в общем или указать на конкретную деталь, уже известную слушателю или читателю.

От АРТИКЛЯ зависит конкретность.
1 - одна какая-то мать
2 - эта самая мать
Родная будет вообще без артикля.

Без контектса такие вещи сложно понять.

У него есть несколько функций, причём некоторые противоречат друг другу. Фактически ты написал верно, но подвязал не к тому.

Основные функции а:

1. *Один* предмет (=одна мать)
   In the picture we can see a mother and two children.
2. Любой предмет, относящийся к классу этих предметов (=любая мать)

A mother always worries about her children.

1. Один предмет из этого класса, а не из другого класса (=мать, а не отец)

He has got a mother.

Основные функции the:

1. Единственный в своем роде предмет (мать в конкретной семье, может также употребляться без артикля)

(The) mother devoted much time to their children.

1. Определенная мать (из контекста понятно, о какой (чьей) именно матери идет речь)

The mother who called yesterday is waiting outside.
The mother of the bride wore a beautiful dress.

Артикль (артикул, показатель категории) является определителем - частью речи, связанной с именем существительным, именем собственным, наречием или прилагательным.
При использовании с именем существительным он определяет:
- один, какой-то объект (артикль a/an) из однородного массива исчисляемых объектов: An elephant ran up to us. (К нам подбежал /какой-то/ слон);
- неопределённое, более одного, количество объектов (отсутствие артикля) из однородного массива объектов: Girls like dressing up. (Девочки /любые/ любят наряжаться);
- один конкретный объект из неоднородного либо однородного массива (артикль the): The town was quiet. (Городок /тот, о котором речь/ был тих.);
- несколько известных однородных объектов из неоднородного массива (артикль the): The boys ran away but the girls stayed. (Мальчики /те, которые там были/ убежали, а девочки /те, которые там были/ остались.). The boys who ran away were cowards. (Мальчики, которые убежали, были трусы. Массив неоднородный, т. к. разделён на трусов и храбрых.).
При использовании определителя в виде артикля, говорящий ориентируется на своё понимание:
- является ли объект (или объекты) неизвестными для собеседника (неопределённый артикль): an elephant, girls;
- или слушатель знает, о каком объекте (или объектах) идёт речь (определённый артикль): the town, the girls;
- что этот объект общеизвестен (определённый артикль): the moon.
Артикль может также использоваться в случае, когда говорящий хочет намекнуть:
- что собеседник не знает, о каком или каких объектах идёт речь (неопределённый артикль). It was a girl, you don't know her. Это была девушка, ты её не знаешь.
- либо на то, что слушатель должен знать, о каком или каких объектах ему сообщается (определённый артикль). It was the neighbour, you know who I'm talking about. Это был сосед, ты знаешь, о ком я говорю.
При использовании с существительным, неопределённый артикль имеет значение: один, один из, один какой-то, любой, каждый, некий. Определённый (определяющий) артикль соответствует в русском языке указательным местоимениям: этот, эта, это, эти, тот, та, те, то.

I've got a mother. The mother is in the kitchen.