Слова «дорога» и «дорогой» не родственны.
Они восходят к праславянским формам *dorga и *dorgъ, которые имели разные тоны.
*dorga «дорога» восходит к глаголу *dьrgati «дёргать». Первоначальное значение, скорее всего, — «расчищенная полоса земли (в лесу)».
*dorgъ «дорогой» этимологизируется с меньшей долей уверенности, но весьма вероятно, что это производное от *dьržati «держать».
https://pikabu.ru/story/doroga_i_dorogoy_yetimologicheskiy_kommentariy_6737767