Как доказать что в каждой n-ой строке треугольника Паскаля сумма элементов=2 в степени n

Вот так:
Пусть в строке (а) треугольника Паскаля находятся числа d_0, d_1, d_2, ..d_n.
А в строке (в) - числа s_0, s_1, s_2 ...s_n, s_(n+1).
Тогда, по условию вычисления чисел в тр-ке Паскаля (каждое число равно сумме 2-х стоящих в предыдущей строке над ним) , получим:
s_0+s_1+s_2+...+s_n+s_(n+1)=d_0+(d_0+d_1)+(d_1+d_2)+...+(d_(n-1)+d_n)+d_n=2*(d_0+d_1+d_2+...+d_(n-1)+d_n).
Т. е. сумма чисел в строке равна удвоенной сумме чисел предыдущей строки.
Тогда, приняв условие, что первая строка тр-ка имеет номер 0, получим, что сумма чисел в каждой строке равна 2^n.
Это получается из того, что
1) в каждой следующей строке число членов строки увеличивается на 1, и в n-ой строке будет n+1 число (напомню, что строки нумеруем с 0).
2) сумма чисел n-ой строки равна 2^n, т. к. при переходе к каждой следующей строке сумма членов удваивается, а для 0-ой строки она равна 2^0=1.
Если же надо еще более строго, то доказывайте методом математической индукции.