Существует ли треугольник, в котором Sin A + Sin B = Sin C

Можно сделать это намного проще. Воспользуемся теоремой синусов.
(a/sin A)=(b/sin B)=(c/sin C)=2R, где R - радиус описанной окружности, A - угол напротив стороны длиной a, B - напротив b, С - напротив c).
Тогда a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.
Если sin A+sin B=sin C, то 2R (sin A+sin B) = 2R sin C, значит a + b = c, что невозможно, т. к. в треугольнике длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Решение:
A + B + C = Pi
C = Pi - (A+B)
sinA + sinB = sin{Pi - (A+B)} = sin{A+B}
sinA + sinB = sinA*cosB + sinB*cosA
sinA + sinB = 2*sin{(A+B)/2}*cos{(A-B)/2}
sin(A+B) = 2*sin{(A+B)/2}*cos{(A+B)/2}
и так далее.. .
доказывается, что такого тр-ка не существует