Почему пишут так: "Жи - Ши, Ча - Ща, Чу - Щу", а не иначе, и когда укоренилось в русском языке это правило?

Next Generation.

В сочетании шипящих согласных (Ж, Ш, Ч) в русском языке с переднеязычными гласными (А, Е, У) отражает тот факт, что эти согласные - мягкие. Во множестве других языков они могут быть, как мягкими, так и твердыми. У нас же они только мягкие.

Правила эти были введены во время реформы письменности, проведенной Екатериной, которая заменила сочетания "iа" на "я", "iо" на "ё", "iэ" на "е" и т. д. Собственно, такое написание и является отражением этой реформы. Раньше можно было писать и та и так: и "iа" и "я", и "iо" и "ё", и "iэ" и "е".

С уважением,
Владимир Ч.