Может ли мать прописаться в неприватизированную квартиру, по месту прописки ребенка, без согласия прописанного там мужа?

Она может ПОПЫТАТЬСЯ это сделать, ессно только в судебном порядке.
К сожалению, шанс на успех очень мал

Нет нельзя, поскольку наймодатель такого согласия не даст.

Попытаться можно, если соблюдены следующие условия:
1. Мать проживает там свыше 6 мес, что могут подтвердить свидетели (соседи и др.)
2. Мать оплачивает коммунальные услуги и имеет на руках соответствующие квитанции, желательно за своей подписью.
Для этого маме малыша надо пойти в районный суд и подать исковое заявление о вселении и регистрации по месту фактического проживания, приложить все документы (квитанции, свид. показания - обязательно, адреса, фамилии свидетелей, которые подтвердят, что мать фактически проживала с согласия всех зарегистрированных) и ждать суда! Не факт, что иск удовлетворят, но шансы есть; к тому же решение всегда можно обжаловать.