В чем заключается коренное отличие квантовой механики от классической?

Сложно то как у Сергея Киплинга.. .
Волновые функции, это уже аппарат, а не идея. В частности существует по крйней мере еще одна эквивалентная форма оаписания явлений квантовой механики - матричные операторы.
А коренное отличие видно прямо из названия. В классической механике все процессы происходят гладко и непрерывно. Однако оказалось, что что на самомо деле все процессы происходят порциями - квантами. В макромире (это где мы с вами живем) этого незаметно из-за огромного числа частиц. В микромире электрон в атоме водорода может иметь строго фиксированные уровни энергии. Никаких промежуточных состояний нет.
Другая особенность квантовой механики - принципиальная невозможность определить точное состояние частицы. Например чем точнее удаётся определить положение частицы, тем менее точно определяется ее скорость.
Описание состояния частицы имеет вероятностный характер. То есть никогда нельзя точно утверждать что частицы будет находится в определённом месте. Есть только вероятность ее обнаружения в каждой точке. Вот эту вероятност и описывают волновые функции.