Существует ли число?

Нет не существует. Вот доказательство
как известно квадрат любого натурального числа может оканчиваться только на цифры
0,1,4,5,6,9
Теперь по очереди будем отвергать их
0000...0 по сути является однозначным числом 0
1111...1 при делении на 4 дает остаток 3, а квадрат любого натурального числа при делении на 4 дает остаток либо 0 либо 1
4444...4 представимо в виде 4*1111...1 то есть если бы оно являлось квадратом, то и число 11111...1 являлось бы квадратом
55555...5 не является квадратом так как квадрат любого числа оканчивающегося на 5 оканчивается на 25
66666...6 при делении на 4 дает остаток 2
99999...9 рассуждения те же самые что и при 44444....4