чем отличаются ломанная от кривой?

По всей видимости, одну согнули и она имеет параболическую форму, а другую - сломали, и она проходит через несколько точек и имеет углы.

Ломаная состоит из отрезков прямых линий. Кривая не имеет прямых участков ( даже если внешне они похожи на прямую).

в любой точке кривой к ней можно провести касательную, причем только одну, по отношению к ломанной это утверждение неверно

Об ломаную можно уколоться. А кривая вывезет всегда!