Бывает так, что различие между Е и Ё влияет на смысл сказанного?

Ещё как влияет.
По телику однажды рассказывали случай. Приходит, значит, в какую-то организцию e-mail: "Такого-то числа встречайте Королеву и Москвы... ". Те отвечают, типа пить надо меньше, в Москве корли уже давно вымерли. Через какое-то время приходит ответ: " Это вам надо пить меньше. Встречайте певицу Наташу Королёву! " :-D
И подобные непонятки бывают о-о-очень часто!