Mail.RuПочтаМой МирОдноклассникиИгрыЗнакомстваНовостиПоискВсе проекты

Помогите пожалуйста решить пример по Высшей Математике.

Мастер (1031), закрыт 8 лет назад
Примечание: в скобках [ ] обозначается степень.

Найти частные производные, частные и полный дифференциалы функций:
a) z=sin√ x-y[3];
б) z=tg((x+y)(x-y)).

Спасибо.
Лучший ответ
а) Частные производные:
∂z/∂x = cos√x/(2√x)
∂z/∂y = −3y²
Частичные дифференциалы:
d_x(z) = (∂z/∂x)dx = cos√x/(2√x)dx
d_y(z) = (∂z/∂y)dy = −3y²dy
Полный дифференциал:
dz = d_x(z) + d_y(z) = cos√x/(2√x)dx − 3y²dy
-------------------------------------------------------------------------------------------------
б) z = tg(x²−y²)
Частные производные
∂z/∂x = 1/cos²(x²−y²)*2x = 2x/cos²(x²−y²)
∂z/∂y = 1/cos²(x²−y²)*(−2y) = −2y/cos²(x²−y²)
Частичные дифференциалы:
d_x(z) = (∂z/∂x)dx = 2xdx/cos²(x²−y²)
d_y(z) = (∂z/∂y)dy = −2ydy/cos²(x²−y²)
Полный дифференциал:
dz = d_x(z) + d_y(z) = (2xdx−2ydy)/cos²(x²−y²)

==================================================================================
Поскольку в ответе к задаче http://otvet.mail.ru/question/15773800/ закончилось место (4000 символов) , решаю последнюю задачу (#6) здесь.

6. ОТВЕТ: z(x,y) принимает:
— наименьшее значение z=−12 при x=0, y=2
— наименьшее значение z=36/5 при x=8/5, y=−6/5

Решение

z=4(x−y)−x²−y²
D: x+2y=4, x−2y=4, x=0
Решение
Область D — заштрихованный треугольник на рисунке.



а) сначала найдём стационарные точки внутри D.
∂z/∂x=∂z/∂y=0
{4−2x=0 ⇒ x=2
{−4−2y=0; ⇒ y=−2
Единственная стационарная точка z(x,y) — (2;−2). Эта точка лежит вне области D ⇒ наибольшее и наименьшее значения функции достигаются на границах D.
б) Рассмотрим поведение функции на границах:
б1) x=4−2y; 0≤y≤2
z = 4(−2y−y) − (4−2y)² − y² = 4y−5y²
z' = 4−10y; z'=0 ⇒ y=2/5 (x=16/5) ⇒ имеем локальный максимум z=4/5
На границах отрезка: y=0 (x=4) ⇒ z=0; y=2 (x=0) ⇒ z=−12
б2) x=4+2y, −2≤y≤0
z=4(4+2y−y)−(4+2y)²−y²)
z'=0 ⇒ y=−6/5 (x=8/5) ⇒ локальный максимум z=36/5
Одна из границ отрезка (x=0, y=2) уже рассмотрена в п. б1), на второй границе (y=−2, x=0) z=4
б3) x=0; −2≤y≤2
z=−4y−y²; z'=0 ⇒ y=−2 (x=0); z=4 (локальный минимум — на границе отрезка)
Выбирая из решений б1–б3 минимальное и максимальное значение z, получаем окончательный ответ:
z(x,y) принимает:
— наименьшее значение z=−12 при x=0, y=2
— наименьшее значение z=36/5 при x=8/5, y=−6/5

Остальные ответы
Похожие вопросы
Также спрашивают