Вопрос мно многогранник

Question

Вопрос мно многогранник

tram pampamp Мыслитель (7710), закрыт 16 лет назад

Существует ли многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым количеством ребер?

Answer 1

hippie Просветленный (31226) 16 лет назад

Конечно существует!

Возьмём 2 пятиугольника A B C1 D1 E1 и A B C2 D2 E2 с общей стороной AB. Их выпуклая оболочка имеет 2 пятиугольные, 2 четырёхугольные и 2 треугольные грани.
(см чертёж, синим цветом показано «невидимое» ребро) .

Спасибо за интересный вопрос!

---------------------------------------------------------------------------------------

Более сложный вопрос: существует ли многогранник у которого вообще нет граней с одинаковым числом рёбер.
ПРИ ЭТОМ НА МНОГОГРАННИК НЕ НАКЛАДЫВАЕТСЯ НИКАКИХ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ. Т. е. он может быть неодносвязным.
А главное грани могут иметь более одного общего ребра!! ! (В противном случае ---ответ очевиден) .
Ответа на эту задачу я пока не знаю, но думаю, что нужно строить пример.

Червяков СергейПросветленный (29561) 16 лет назад

Красиво :-)

tram pampamp Мыслитель (7710) Проверьте, плз, мой последний ответ про тараканов - нигде не лопухнулась?

tram pampampМыслитель (7710) 16 лет назад

Я-то поняла, но задача - школьная, и хорошо бы этот многогранник в пространстве предъявить, а то ШКОЛЬНИКУ не очень понятно, как добиться, чтобы вершины
"больших" граней (4 и 5- угольников) лежали в одной плоскости.

P.S.Про графы я все понимаю :-)). Без них как бы... Просто - построить.

Не очень понятно - грани имеют более одного общего ребра? Тогда в одной плоскости?

hippie Просветленный (31226) Можно строить следующим образом. Пусть ABDD1 ---правильный тетраэдр. Пусть O ---середина DD1. Добавим точки C1 и E1, таким образом, чтобы получился выпуклый пятиугольник A B C1 D1 E1, в котором никакие стороны не параллельны. Отразив его симметрично относительно относительно плоскости ABO получим пятиугольник A B C2 D2 E2. Прямые AB и C1D1 лежат в одной плоскости и не параллельны, а следовательно пересекаются в некоторой точке. Но тогда, вследствие симметрии, Прямые AB и C2D2 пересекаются в тогй же точке! Следовательно прямые C1D1 и C2D2 лежат в одной плоскости. Аналогично доказывается, что в одной плоскости лежат прямые D1E1 и D2E2.

hippieПросветленный (31226) 16 лет назад

Мне удалось построить ещё 3 существенно различных ВЫПУКЛЫХ многогранника удовлетворяющих условию задачи. Похоже, что других не существует, но строго доказать это мне пока не удалось.
Могу доказать, что граней может быть ТОЛЬКО от 6 до 8, и шестигранник и семигранник единственные.
Существует ли восьмигранник отличный от двух уже найденных пока не знаю.

Подробнее напишу вечером (если смогу пробиться в интернет).

Answer 2

Червяков Сергей Просветленный (29561) 16 лет назад

В подобных задачах ответ почти очевиден: конечно, нет. Сейчас уже поздно, подумаю о доказательстве завтра.

Хотя идея уже возникла :-)

Червяков СергейПросветленный (29561) 16 лет назад

Был. неправ; это тот случай, когда интуиция подвела.
А hippi Orydoroga молодец! :-)

tram pampamp Мыслитель (7710) На олимпиадах всегда - если вопрос "существует ли" в первых задачах, то скорей всего, существует и строится пример, если в последних - нет , и доказывается. Здесь же сложность не видна, поэтому и не очень понятно, какова цель. :-)