Можно ли пересекать российско-украинскую границу на автомобиле, принадлежащему мужу, по рукописной доверености мужа?

Трудно сказать.
Кто чего говорит, кто смог, а кого завернули.
Теоретически можно.

Нет. Доверенность должна быть нотариально оформлена и кроме всего прочего содержать фразу "пересечение границ РФ и управление автомобилем на территории иностранных государств"... как-то так, нотариусы лучше знают.

Можно, если муж будет сидеть рядом с Вами в машине в момент прохождения границы. В ином случае нужна нотариально-заверенная доверенность.

Сейчас на территорию Украины пускают только по нотариально заверенной доверенности и только если управляющий автомобилем человек является прямым родственником владельца. Т. е. в вашем варианте, если мужа не будет рядом, нужен или паспорт РФ или свид-во о браке (если едете по загранпаспорту)