Какие права у гражданина РФ за границей при каких-либо ситуациях, связанных с законом? Звонки в консультва и пр.?

Это зависит от их УК, УПК или аналогичного документа. У нас в случае с совершеннолетним обязаны сообщать ближайшим родственникам только после предъявления обвинения и заключения под стражу, а до предъявления - сиди и не чирикай, насколько я знаю. В США, кажется, и это не обязаны.