Десятизначное число.(внутри)

ОТВЕТ: 2100010006

1) очевидно, что сумма всех цифр числа равна 10
2) обозначим последнюю цифру (количество нулей) за k.

3) k≠0 (в противном случае получилось бы, что ноль в записи числа всё же есть) .
Заметим, что и первая цифра числа не равна 0 — иначе число не будет десятизначным ;-)
4) пусть k>0. Тогда из оставшихся 9 цифр ровно k — нули, а сумма остальных (9−k) ненулевых цифр равна (10−k).
Расположив эти (9−k) цифр в порядке неубывания, получим единственный вариант: 11…12: (8−k) единиц и одна двойка
Начинаем перебирать:

а) k=1
Число единиц в числе равно 8 (единица на конце + 7 единиц где-то раньше) ⇒ первая цифра числа равна 8, а это невозможно, т к. восьмёрки среди цифр числа нет.

б) k>1
Первая цифра числа должна быть равна (8−k). В нашем распоряжении, кроме единиц (и нулей, разумеется) , есть только двойка и k ⇒ имеем два потенциальных варианта: 8−k=2 или 8−k=k

б1) k=6.
Имеем вариант (ненулевые цифры, за исключением последней) : 112 (в записи числа 6 нулей, 2 единицы, 1 двойка, 1 шестёрка) .
Значит, первая цифра числа равна 2, вторая —1, шестая — 1, последняя — 6, остальные нули:
2100010006 — решение

б2) k=4
Имеем вариант: 11112.
Итого у нас 4 единицы, 1 двойка, 1 четвёрка (на конце) , остальные нули.
Первая цифра равна 4, вторая — 1, четвёртая — 1, последняя 4. Получили две четвёрки (первая и последняя цифры) , а четвёрка у нас всего одна ⇒ получили противоречие. Этот вариант невозможен.

Значит, единственное решение: 2100010006