На что нужно обращать внимание при покупке ноутбука Б/У. Какие у них бывают проблемы со временем?

Комплектация (зачастую представления о ней Ваше и продавца могут сильно отличаться) . Наличие блока питания в комплекте строго обязательно - не ко всем моделям его можно будет потом с легкостью достать. Его отсутствие при покупке б/у ноутбука на фирме должно крайне насторожить.
Внешний вид, наличие царапин, сколов, трещин на корпусе. Если царапины на внешней крышке сказываются только на внешнем виде, то трещины возле элементов крепления матрицы, на корпусе могут свидетельствовать о том, что ноутбук роняли; по возможности откажитесь от покупки такого аппарата.
Проверить отсутствие сбоев в работе при небольших деформациях корпуса. Для этого нужно взять ноутбук за углы корпуса, поднимать его над столом держась аккуратно за один-два угла, открывать и закрывать экран. Аварийные отключения и зависания при таких "пытках" свидетельствуют о серьёзных аппаратных проблемах.
Проверьте, не установлен ли пароль на вход в BIOS.
Поинтересуйтесь, какие модули памяти стоят в компьютере. Чаще всего в ноутбуках 2 разъёма под память, иногда базовый объём памяти распаян и на системной плате. Из вариантов с одним модулем памяти или с двумя вдвое меньшего объёма следует выбирать первый - легче будет потом наращивать. В некоторых ноутбуках доступ ко второму слоту достаточно неочевиден, попросите продавца установить имеющийся модуль именно в него, оставив свободным легкодоступный слот.
Состояние аккумуляторной батареи. Даже если она не нужна - её плохое состояние будет дополнительным поводом поторговаться. Если её состояние важно - не поленитесь протестировать её с помощью соответствующих программ - фраза в прайс-листе "2 часа работы" может означать всё что угодно.
Матрица. Нужно оценить (в т. ч. и в денежном выражении) размеры, разрешение, яркость, углы обзора, посмотреть, равномерна ли яркость по всему экрану, посмотреть т. н. "битые точки". Особенностью ЖК-матриц именно в б/у ноутбуках является относительно частое наличие на аппаратах светлых или тёмных пятен, иногда заметных только при определённом угле зрения, размерами в несколько десятков/сотен пикселей, которые образуются при деформации светоотражающего материала под матрицей. Эта деформация возникает при механическом воздействии на крышку матрицы с обратной (внешней) стороны, например, при неаккуратной переноске в сумке. В таких случаях также часто на поверхности экрана "отпечатываются" TrackPoint и/или клавиши клавиатуры, или элементы её обрамления. Убрать такие дефекты разумно-доступными способами практически невозможно.
Стабильность работы под нагрузкой. Ноутбук не должен отключаться или аварийно перегружаться, а также заметно "тормозить" при работе сильно нагружающих процессор, память, видеокарту программ.
Состояние винчестера. Тест поверхности и просмотр атрибутов S.M.A.R.T. - обязательны для выяснения вопроса "исправен/нет". Слишком древний винчестер (примерно 5 лет и старше) в любом случае разумно будет заменить новым - повысится и скорость, и надёжность.
Качество чтения накопителей - CD-ROM, FDD. DVD-привод имеет смысл проверить как на чтение DVD-дисков, так и на чтение обычных CD-шек - достаточно часто привод "умирает наполовину", читая DVD и не читая CD или наоборот.
Стабильность срабатывания ВСЕХ кнопок на клавиатуре и правильность работы TouchPad/TrackPoint.
Аудиоадаптер и встроенные колонки. Звук должен быть, не должен хрипеть и регулироваться имеющимися органами регулировки громкости.
Модем. Как минимум, должен откликаться на стандартные AT-команды.