Могу ли я получить свидетельство о рождении своему ребенку?

Можете, на основании соответствующего Приказа Минюста, п. 18:
http://base.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=LAW;n=123604
Временное удостоверение личности относится к иным документам, удостоверяющим личность в соответствии с федер. законодательством.
То, что у вас иногородняя прописка, значения не имеет. Регистрация рождения может быть произведена в ЗАГСе по месту рождения ребенка, ст. 15 ФЗ-143:
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_154794/?frame=1#p249
Основанием для регистрации рождения служит медицинское св-во о рождении ребенка, которое вам дали в роддоме. Даже если бы у вас вообще никаких документов не было, все равно рождение ребенка обязаны зарегистрировать, закон предусматривает и такие случаи. Так что идите в ЗАГС и получайте св-во о рождении.
На призывы отдельных "особо одаренных" сотрудников ЗАГСа подождать 2 месяца, пока у вас не будет паспорта, говорите, что сейчас теми же ногами пойдете в местную прокуратуру и напишете жалобу. Сразу все оформят, даже не сомневайтесь.