Как между собой связаны непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость функции?

Непрерывная функция и дифференцируема, и интегрируема.
AFAIR, достаточное условие интегрируемости - наличие у функции конечного числа точек разрыва 1 рода.

Непрерывность является необходимым, но недостаточным умловием дифференцируемости, но дифференцируемая функция всегда непрерывна. В самом определении определенного интеграла есть условие о непрерывноси и дифференцируемости во всех внутренних точках отрезка