Если гиацинт сидит дома в горшке, луковицу после отцветания обязательно выкапывать или пусть себе сидит дальше?

Лучше всего высадить его весной в открытый грунт, на клумбу среди других растений. И там он будет продолжать нормально жить, как ему положено от природы. Когда нужно, уснет, когда нужно, проснется.
Это личный опыт.

Купила несколько лет назад голландский цветущий гиацинт в маленьком горшочке-кубике. Я его не тревожила, пока не отвел, а затем отдала своей коллеге, у которой частный дом, и по моему совету она сразу посадила луковицу в палисаднике среди других растений. Как говорится, "посадила и забыла". То есть специальный период покоя для гиацинта не устраивался, в теплый сезон поливалась вся клумба по мере надобности.

А посоветовала я это, потому что у нас когда-то на дачном участке на горе была куртинка со всякими цветами вперемежку (тюльпаны, пионы, нарциссы, ирисы, подснежники, гиацинты, дубочки.. . ) , всё это так и жило много лет в земле без выкапывания, в теплый период поливалось всё вместе, и цветы цвели по очереди, а уходили на покой когда кому надо. Отлично себя чувствовали.

Аналогично во дворике у меня на работе с давних пор живут луковицы нарциссов и гиацинтов, круглый год сидя в земле, тоже цветут каждую весну, хотя (честно говоря) тут им летом, кроме дождя, даже полива не достается.

Так вот, голландская луковица зацвела на следующий же год! С момента посадки все время сидела в земле, и ежегодно весной, уже года четыре подряд без пропусков, выдавала отличное цветение! Коллега сфотографировала гиацинт телефоном, показывала мне - ничуть не хуже смотрится, чем в первый раз. Поэтому мне всегда обидно за это милое растение, если кто-то скажет, что импортные гиацинты - "одноразовые".

Примечание: климат у нас крымский, морозы бывают иногда до -17, но средняя зимняя температура ближе к нулю. В более холодном климате, наверно, надо места посадки гиацинтов хорошо укрывать на зиму.
Если нет палисадника, можно держать гиацинт зимой на застекленном балконе при +5, чтобы только земля не промерзала. Я бы в этом случае посадила в широком контейнере небольшой садик растений, зимующих при пониженной температуре: гиацинт, хорошенькие декоративные хвойнички (можжевельник, кипарисовик, маленькую канадскую елочку и т. п. ) . По земле пустила бы стелиться плющ обыкновенный - очень декоративны даже дикорастущие формы (самые холодоустойчивые) . Двумя-тремя камнями на манер альпийской горки украсить. Изумительно красивая композиция была бы! Поливались бы все растения, и гиацинт бы среди них тоже не пересыхал в свой период покоя. Можно было бы не одно луковичное растение посадить, а несколько. Если бы мой балкон был застеклен, я бы так и сделала...