arccos( sqrt( 1-x^2 ) ) преобразуется в | arcsin( x ) |. как?

Принципиально важно добавить проверку области значений функции.

1) проверяем область значений:
|√(1−x²)| ≤ 1
Квадратный корень принимает только неотрицательные значения (при неотрицательном значении аргумента) ⇒
{1−x²≥0,
{√(1−x²) ≤ 1
⇔ |x|≤1
в левой части стоит арккосинус от числа, принимающего значения от 0 до 1 ⇒ значение арккосинуса принимает значения от 0 до π/2 (границы включаются)

2) в правой части: arcsin(x) ∈ [−π/2;π/2] ⇒
|arcsin(x)| ∈ [0;π/2]

3) возьмём косинус от обеих частей:
а) левая часть: cos(arccos(√(1−x²))) = √(1−x²) по определению арккосинуса
б) В правой части стоит выражение от 0 до π/2 (см. п. 2) ⇒ косинус этого выражения неотрицателен.
Используя чётность косинуса и основное тригонометрическое тождество, получаем:
cos(|arcsin(x)|) = cos(±arcsin(x)) = cos(arcsin(x)) = √(1−sin²(arcsin(x))) = √(1−x²)

4) Итак, мы получили, что косинусы от выражений, стоящих в левой и правой частях, равны.
А сами выражения при этом расположены в промежутке [0;π/2], на котором косинус монотонно убывает (от 1 до 0), а следовательно, аргумент косинуса восстанавливается по своему значению однозначно.
Следовательно, выражения в левой и правой частях равны. Что и требовалось доказать