Сумма всех натуральных чисел действительно равна -1/12?

Нет, конечно, это не так. "Сумма" всех натуральных чисел равна +бесконечности. Наверняка то "доказательство" написано так, что ошибка спрятана где-то внутри.
Хотя, конечно, смотря что понимать под словом "сумма бесконечного ряда". Обычное определение - предел суммы конечного отрезка ряда. Здесь это, разумеется, бесконечность.

Но возможны и другие, более "хитрые", понимания "суммы".

"На дурака не нужен нож
Ему с три короба наврешь - и делай с ним что хошь! "

"Приключения Буратино". Рекомендую к просмотру. Не ютуб!

натуральное число - это целое положительное число. При сложении его с другим целым положительным в результате никак отрицательное получится не может.

Умники, блин.
Специальные методы суммирования, использующиеся в некоторых разделах математики, позволяют присвоить конечные значения расходящимся числовым рядам. В частности, один из таких способов предоставляет метод, основанный на регуляризации аналитического продолжения дзета-функции Римана и суммирование по методу Рамануджана, позволяют сопоставить данному ряду некое конечное значение: -1/12.
Доказано больше 100 лет назад.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Натуральный_ряд

"Все нетривиальные нули дзетта-функции имеют вещественную часть равную одной второй".Эту гипотезу Риман вывел еще в 18 веке. Она не доказана и неопровергнута до сих пор. За ее доказательство или опровержение будет выплачено миллион долларов американским институтом Клея. Пока ее никто не получил.

Честно говоря, я как человек далекий от квантовой электродинамики, дзета-функции и проч. вижу здесь обыкновенный софизм. Таких во времена моей школьной молодости много публиковали в журнале "Техника молодежи" с последующим разоблачением конечно.

На чем основаны все софизмы? На какой-то малозаметной ошибке или подмене, развивая последовательно рассуждения, основанные на которой, приходят к абсурдным результатам.

Вот в данном случае как сумма натуральных чисел (т. е. чисел положительных) может оказаться числом отрицательным? Или как сумма положительных чисел может оказаться меньше любого из слагаемых? Ну не абсурд ли?

В данном конкретном случае рассуждения основаны на суммировании по Чезаро ряда Гранде: 1 - 1 + 1 - 1+ ..(это я вычитал где-то в интернете).

В чем, на мой взгляд, ошибка или подмена?

В этом ряду каждой 1 соответствует -1, т. е. последовательность 1 и -1 суть объединение двух равновеликих множеств. Выделение из одного из них одного элемента (1), забыв про соответствующую ей -1 ведет к нарушению ряда. В подменном равенстве S1 = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + .) = 1 - S1 это соответствие нарушено, т. е. исходный ряд в левой части с его соответствиями подменен в правой части другим рядом с другими соответствиями (отговорки, что, мол, в бесконечности одна свободная -1, не связанная с 1, которую мы теперь свяжем с другой 1, ни на что не влияет, это и есть камуфлирование подтасовки), а потому утверждение S1 = 1 - S1 и последующее S1 = 1/2 ложны.

Не случайно, что с помощью "приемчиков" можно получить эту сумму равной и -1/2, в интернете это можно найти.

На самом деле сумму ряда Гранде можно и нужно получить безо всяких "приемчиков", достаточно поменять местами все 1 и -1, ведь от перестановки мест слагаемых сумма не меняется, а ряд сохраняется:

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + .= - 1 + 1 - 1 + 1 - .= - (1 - 1 + 1 - 1 + .) = - S1

S1 = - S1, а значит S1 = 0.

Не буду спорить, устоявшиеся представления и методы в математике позволили многого добиться, доказывают свою действенность, но мне как обычному инженеру - автоматчику в прошлом скользящий режим с бесконечно быстрыми переключениями "+1/-1", дающими в итоге 0 на выходе, как-то ближе и понятнее. Ибо критерий истины - практика!

Нет?