Сформулировать признак равнобедренного треугольника

Если в треугольнике АВС выполняется одно из следующих условий, то этот треугольник равнобедренный, причем АВ = ВС.
1) углы при вершинах A и С равны; Доказательство. Обозначим через D середину АС
и проведем через эту точку перпендикуляр к АС. Пусть этот перпендикуляр пересекается с прямой АВ в точке В1,
а с прямой СВ в точке В2.
Тогда по второму признаку треугольники АDВ1 и СDВ2 равны,
поскольку АD = СD, углы B1АD и В2СD равны по условию, а равенство углов В1DА и В2DС следует из этого, что В1 и В2 лежат на перпендикуляре к АС, проходящем через D.
Таким образом, DВ1 = DВ2, точки B1 и В2 должны совпасть друг с другом, а значит, совпасть с точкой В.
Следовательно, АВ = СВ.
Этот пункт можно доказать и иначе. При симметрии относительно перпендикуляра к АС, проходящего через точку D, точка С переходит вА, а точка А - в С.
Угол А переходит в угол С, а угол С - в угол А. Прямая CВ переходит в прямую АВ, прямая АВ - в прямую СВ. Значит, треугольник АВСравнобедренный, АВ = ВС. 2) биссектриса и высота, выходящие из вершины В, совпадают; Доказательство. Если ВD является биссектрисой и высотой треугольника АВС ,
то треугольники АВD и СВD равны
также по второму признаку равенства треугольников, поскольку сторона ВD у них общая, а углы, к ней прилежащие, равны.
Значит, АВ = СВ. 3) высота и медиана, выходящие из вершины В, совпадают; Доказательство. Если ВD является медианой и высотой ,
то треугольники АBD и СВD равны по первому признаку: сторона BD - общая, АD = DС, ÐВDА = ÐВDС. 4) медиана и биссектриса, выходящие из вершины В, совпадают, Доказательство. Проведем медиану ВD
и продолжим ее за точку D.
На этом продолжении возьмем точку В1 так, что DВ1 = DВ.
Треугольники АВD и СВ1 D равны по первому признаку: углы АDВ и СDВ1 равны как вертикальные, кроме этого, DВ = DВ1, АD = DС.
Следовательно, СВ1 = АВ и ÐDВ1 С = ÐDВА.
Но ÐDBA равен ÐDВС, поскольку по условию ВD - и медиана, и биссектриса. Таким образом, в треугольнике ВСВ1 равны углы при стороне ВВ1 . Значит, в соответствии с первым пунктом теоремы СВ1 = СВ. Кроме этого, СВ1 = АВ
и, следовательно, СВ = АВ.