должен ли нагреваться компрессор холодильника?

Да должен нагреваться, чтоб он остыл нужно из сети на долгое время выключать, но смысла в этом нет, ибо он сделан так.

внутри охлаждается, а снаружи нагревается

Остывает когда останавливается.

Нагревается, значит работает. Охлаждается при остановке. Тепло от компрессора испаряет влагу из лотка, который стоит сверху.

компрессор в работе всегда горячий, остыть не успевает. это норма. Принцип работы холодильников в том, что, если вы не знали, не просто генерируется холод из ниоткуда, а как бы вытягивается изнутри наружу. Видели на задней стенке здоровенную решетку? снаружи нагревается внутри охлаждается. холодильник как бы вытягивает тепло изнутри, тем самым и охлаждает. А на выходе с компрессора горячее всего.
Компрессор это килограмм 10 стали и меди, залитые маслом по самое не хочу, потому и остывает долго.

Да должен, а остывает долго, так как внутри масло

Почему нагревается: потому что кпд меньше 100%.
Почему не успевает остыть: теплоёмксоть высокая (медь, масло) .

Почему у вас возникают такие вопросы: физику не учили ;) .

Должен. Так как при давлении создаваемом ИМ возрастает и терматура.