Есть математики? Какое приложение имеют тензоры?

Не надо абсолютизировать разную математическую дребедень типа тензоров. Тензор – это всего лишь удобная форма представления некоторых физических величин. Так же как действительным числом удобно представлять, например, температуру, массу, заряд, а векторами – разные направленные величины типа скорости, ускорения, силы.

Тензорами часто представляют величины, связанные с преобразованием одного вектора в другой. Например, закон Ома в дифференциальной форме выглядит как j = σE, где j – плотность тока, σ – проводимость, E – напряжённость электрического поля. Однако существуют анизотропные вещества, где вектор плотности тока не совпадает по направлению с вектором напряжённости. В этом случае закон Ома записывается в виде трёх уравнений для каждой из компонент вектора плотности тока:

jx = σхх•Ex + σхy•Ey + σхz•Ez
jy = σyх•Ex + σyy•Ey + σyz•Ez
jz = σzх•Ex + σzy•Ey + σzz•Ez

где jx, jy, jz – компоненты вектора плотности тока, σхх … σzz – компоненты тензора проводимости, Ex, Ey, Ez – компоненты вектора напряжённости.

Понятно, что эти три уравнения можно написать в матричном виде:

J = [σ] E,

где J – вектор (матрица-столбец) плотности тока, [σ] – матрица проводимости, E – вектор напряжённости.

То есть, грубо говоря, тензор в простейшем случае является обычной матрицей.

Подчеркну ещё раз, что тензор сам по себе ничего не значит, это просто удобная форма представления физических величин в уравнениях. Настоящую ценность представляют собой сами уравнения, потому что они являются описанием различных явлений и позволяют нам моделировать реальность.

Что касается метрического тензора, то он применяется для записи уравнений в неевклидовых пространствах, где привычная нам из школьной геометрии теорема Пифагора r² = x² + у² + z² представляется в более общем виде

r² = gxx•x² + gyy•у² + gzz•z²,

где gхх … gzz – компоненты метрического тензора.

Широко применяется, например, в общей теории относительности, где стандартным описанием гравитационного поля является искривлённое пространство.