Что такое серверная часть базы данных? Что такое клиентская часть базы данных?

Клиентская часть базы данных - ничего. Нет такой.
Серверная часть базы данных - все остальное.

Серверная часть баз данных это часть где хранятся сами данные. Тоесть это сама программа. Например MS SQL, MySQL, Oracle, ..

Клиентская часть, это видимый интерфейс который позволяет упралять записями. Например PhpMyAdmin для MySQL, или Navicat для SQLite.

Иногда клинетом так же называют интерфейс доступа в языке програмированя. В РНР есть клиент MySQL который предоставляет набор функций работающих с этой базой, то есть с ее серверной частью. Или коннктор к MySQL в C# это тоже клиент MySQL.

Другими словами клиент это то что соединятся с базой данных. И это логично, если база это сервер, то все кто к ней подсоединятся это клиенты.