Разность векторов

Задачи могут быть самые разные, в зависимости от специфики задачи удобен тот или иной способ.
Например, сумма векторов находится, как известно, либо по правилу треугольника, либо по правилу параллелограмма - оба правила эквивалентны. Но! . Первое правило удобно применять тогда, когда начало второго вектора приведено к концу первого, а второе правило - тогда, когда оба вектора приведены к одному началу. Никто не запрещает пользоваться неудобным методом, но тогда и выкладки будут сложнее при том же результате.

Точно так же - с разностью. Если два вектора приведены к одному началу, то удобно запомнить такое правило - вектор, исходящий из этого общего начала в противоположную вершину параллелограмма, построенного на данных векторах (диагональ параллелограмма) - это сумма данных векторов, а если вторую диагональ направить (сделать её вектором) , то получится разность этих векторов. В зависимости от того, что из чего вычитается - туда и нужно направить вторую диагональ параллелограмма - она направлена, как Вы верно сказали, к концу уменьшаемого вектора:


В случае если нужно найти разность двух векторов, то параллелограмм строить необязательно - достаточно построение треугольника, в котором третья сторона будет разностью. Но, ещё раз подчёркиваю, если данные векторы приведены к одному началу.

Если же начало первого вектора приведено к концу второго, то этим правилом пользоваться не очень удобно, так как векторы надо приводить к одному началу, но можно продолжить вектор-вычитаемое за начало и на этом продолжении отложить вектор, равный минус вычитаемому:


Как видно, треугольник достраивается до другого треугольника, в котором уменьшаемое будет медианой, а вычитаемое - половиной стороны. В задачах с медианой иногда этот способ помогает. Но обо всём по порядку.

В задачах где векторы не даны, и их приходится строить самому, возможно иное решение, без использования векторов. Более того, казалось бы, что векторы не имеют к задаче никакого отношения. Тем не менее, удобное введение векторов иногда позволяет решить задачу более изящно. Например, требуется доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Здесь никаких векторов нет, но если построить ромб и отметить на нём два вектора, исходящих из одного начала, то диагонали можно выразить через сумму и разность этих векторов. . Для доказательства перпендикулярности достаточно эти сумму и разность перемножить по свойству скалярного произведения - получится разность скалярных квадратов данных векторов, т. е. квадратов их модулей, а поскольку модули равны (как длины сторон ромба) , то скалярное произведение векторов-диагоналей равно нулю, и они перпендикулярны. Здесь использовался факт о том, что первая диагональ параллелограмма (та, которая исходит из общего начала векторов) равна сумме векторов, построенных на сторонах параллелограмма, а вторая равна их разности.

Вот как можно решить задачу о нахождении медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, если известна длина гипотенузы.

Пусть х - вектор, исходящий из вершины треугольника к середине гипотенузы (это - медиана) От этой середины гипотенузы к вершинам острых углов откладываем два противонаправленных вектора, и если один из них равен у, то второй -у. Длина каждого по с/2, где с - гипотенуза

Тогда, в согласии с правилом треугольника для разности, первый катет треугольника будет равен х + у, а второй х - у. Перемножаем их скалярно и приравниваем к нулю, так как катеты перпендикулярны. Отсюда заключаем, что модули векторов х и у равны, а поскольку у = с/2, то искомая медиана равна половине гипотенузы.