Найти взаимно однозначное соответствие между замкнутым единичным кругом и дополнением к открытому единичному кругу.

С центром не получится, его надо выкалывать, а остальное - легко. Берёшь точку внутри круга (расстояние от центра r1) и проводишь луч от центра через эту точку. Вне круга ей будет соответствовать такая точка r2, чтобы r1*r2=1. При этом круг "выворачивается" на плоскости: центр уходит на бесконечность, сама окружность остаётся на месте, а у всех остальных точек появляется взаимно-однозначное соответствие. Проще мыслить в полярных координатах: угол оставляем, а произведение расстояний до точек от центра равно 1.