Почему формула векторного произведения векторов имеет вид |a||b|sin(a,b), а скалярного |a||b|cos(a,b)?
В случае векторного произведения синус в формуле нужен для того, что получилась площадь, что наверное каким-то образом способствует аналитике :) А какой смысл домножать на косинус в скалярном произведении?
Исторически вначале люди для нахождения работы умножали перемещение на "проекцию силы на перемещение". Затем для углов, не равных 0, 90 и 180 градусов, стали использовали для этого косинус. И лишь потом придумали для этого название "скалярное произведение".
Векторное произведение появилось аналогично. Сначала некоторые величины (момент силы, магнитное поле) вычисляли через плечо, затем стали использовать синус, и лишь потом придумали векторное произведение.
Чтобы найти проекцию одного вектора на другой вектор, что нужно, например, для вычисления механической работы.
Потому что при координатной записи векторное произведение делается просто почленно: (x1 y1 z1) * (x2 y2 z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2. А косинус - это уже следствие.