Слово дремать произошло от слова dream(мечтать, спать) или наоборот?

нет, NAP значит дремать, короткий сон, и так далее
слово дремать произошло от времён вовилонской истории, называли людей Дремлени или Дремианы, эт те кто типа как бы спали на рабочем слове, что-то наподобии короткого сна

вот и по истории бог разделил оюдей на языки и нам присвоелось слово дремать

дремать
Древнерусское – дремати (дремать) .

Общеславянское – dremati.
Глагол «дремать» – исконно русское слово, появившееся в языке в XI в. Значение глагола – «находиться в полусонном состоянии» .
Производные: дремота, дремотный, дрема, дремучий.
....
дремать дрема́ть дремлю́, укр. дрiма́ти, др. -русск. , цслав. дрѣмати, болг. дре́мя, сербохорв. дри̏jема̑м, дриjѐмати, словен. drė́mam, drė́mati, чеш. dřímám, dřímati, слвц. driemat', польск. drzemię, drzemać, в. -луж. drěmać, н. -луж. dremaś. Родственно лат. dormiō, dormīre "спать", далее, др. -инд. drā́ti, drā́yatē "спит", греч. δαρθάνω "сплю", аор. ἔδραθε; см. Уленбек, Aind. Wb. 132; Бернекер 1, 223 и сл. ; Младенов 153; Буазак 167; Траутман, BSW 60. Этимологический словарь русского языка. — М. : ПрогрессМ. Р. Фасмер 1964—1973

ни к английскому dream ни к вавилонской басне что описана в первом ответе не имеет НИКАКОГО отношения

Может, это праиндоевропейское слово? Тогда оно появилось тысяч семь лет назад где-то между современной Турцией и Алтаем, а потом пришло вместе с "ариями" за уходящим ледником сначала в европейскую Россию/Украину, потом в Европу.

Это древний корень, уходящий в куда-то в индоевропейский праязык. У Цфасмера есть и древнеиндийское родственное слово, и древнегреческое

дремать слово не русское.