Про мощность множеств

Предлжу и свою идею.
Каждой последовательности (x_n) из нулей и единиц поставим в соответствие некоторое множество A(x_n) чисел, в десятичной записи которых присутствуют только цифры 1, 2, 3 и 4.
А именно:
если x_k=0, то на k-м месте после запятой в числах множества A(x_n) стоят 1 или 2;
если x_k=1, то на k-м месте после запятой в числах множества A(x_n) стоят 3 или 4.
Количество построенных множеств равно числу последовательностей, состоящих из 0 и 1, т. е. континуум.
Каждое из множеств A(x_n) также имеет мощность континуум (хотя бы потому, что является декартовым произведением счётного числа двухточечных множеств) .
Таким образом отрезок разбился на континуум множеств мощности континуум и ещё одно множество (состоящее из чисел записываемых НЕ ТОЛЬКО цифрами 1, 2, 3 и 4) Также имеющее мощность континуум.

Всего оказалось КОНТИНУУМ ПЛЮС ОДНО множеств мощности континуум.
Но континуум плюс 1 имеет мощность континуум. Таким образом общее число построенных множеств равно континууму.

---------------------------------------------------------------
Добавлено после прочтения комментариев
из http://otvet.mail.ru/comments/answer/115794902/
и из обсуждения ответа Смайлик.
Привожу свою реализацию идеи, которую предложила Смайлик в одном из коментариев. (Только вместо квадрата отобразим отрезок биективно на Канторово множество. )

"Перенумеруем" точки отрезка последовательностями, состоящими из 0 и 1 следующим образом:

Двоично-иррациональному числу поставим в соответствие его двоичную запись;

Упорядочим двоично-рациональные точки по росту сначала знаменателя, а потом ---числителя:
0, 1, 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, 1/16, ..
Упорядочим все стационарные (т. е. постоянные с некоторого номера) последовательности по возростанию сначала длины непериодической части, а потом двоичного числа, образуемого непериодической частью:
(0), (1), 0(1), 1(0), 00(1), 01(0), 10(1), 11(0), 000(1), ..

Каждому двоично-рациональному числу из отрезка [0,1] поставим в соответствие стационарную последовательность имеющую тот же номер:
0--> (0),
1--> (1),
1/2--> 0(1),
1/4--> 1(0),
3/4--> 00(1),
1/8--> 01(0),
3/8--> 10(1),
5/8--> 11(0),
7/8--> 000(1),
1/16--> 001(0),
3/16--> 010(1),
....

Теперь каждой последовательности (x_n) из 0 и 1 поставим в соответствие некоторое множество B(x_n) точек отрезка следующим образом:

В множество B(x_n) входят те и только те числа, которые "занумерованы" последовательностями (y_n), такими, что при всех k:
y_{2k}=x_k.
/Т. е. в которых на месте с номером 2k стоит такая же цифра, что и в последовательности (x_n) на месте с номером k./

Как количество множеств B(x_n), так и каждое из этих множеств имеют мощность континуум.

------------------------------------------------------------------------
Добавлено ещё позже.

Перенумеруем все ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ числа отрезка [0,1] последовательностями целых положительных чисел.
Каждое ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ число отрезка [0,1] единственным образом раскладывается в БЕСКОНЕЧНУЮ цепную дробь вида:
1/(a_1+1/(a_2+1/(a_3+1/(a_4+...)))).
При этом соответствие между иррациональными числами отрезка [0,1] и последовательностями коэффициентов (a_1, a_2, a_3, a_4, ..) взаимно однозначное.

Теперь каждой последовательности (x_n) из 0 и 1 поставим в соответствие некоторое множество C(x_n) точек отрезка, а именно:

если (x_n) не тождественно-нулевая последовательность, то C(x_n) состоит из тех ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ точек отрезка, для которых в разложении в цепную дробь все a_k имеют такую же чётность, как x_k;

С (0000000....) состоит из всех ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ точек отрезка, для которых в разложении в цепную дробь все a_k чётные и ВСЕХ РАЦИОНАЛЬНЫХ точек отрезка.

------------------------------------------------------------------------
Добавлено ещё позже. :))

Четвёртое решение, АБСОЛЮЬТНО НЕ ПОХОЖЕЕ на предыдущие, за недостатком места :(( привожу в комментарии.