Как пишется "небезИнтересный" или "небезЫнтересный"? и почему

Пишется с Ы, так как есть правило: если от слова, начинающегося с буквы И, образовано новое слово при помощи приставки, оканчивающейся на согласную, то вместо И в производном слове пишется Ы в соответствии с произношением:

✔ игра – розыгрыш;
✔ искать – отыскать;
✔ интересный – безынтересный – небезынтересный.

Буква И сохраняется:

► после приставок СВЕРХ- и МЕЖ-:
✔ интересный – сверхинтересный;
✔ институт – межинститутский;

► после иноязычных приставок:
✔ игра – контригра;
✔ инфекция – дезинфекция.