"Drink up your coffee, or else it will get cold". Можно ли вместо "or else" поставить "unless"? Изменится ли смысл?

Изменится и очень существенно.

Drink up your coffee, or else it will get cold. = Выпей (допей) кофе, а то он остынет. (если ты не выпьешь сейчас, кофе остынет)

Drink up your coffee unless it gets cold. = Выпей (допей) кофе, но если он остынет, то не пей. (выпей кофе, но только в случае, если он не остынет)

В первом предложении говорящий хочет, чтобы слушающий успел выпить кофе, пока он не остыл. Во втором предложении он не предупреждает, а говорит, в каком случае нужно выпить кофе, а в каком -- нет.

Or else указывает на то, что произойдет, если чего-то не сделать.

Unless указывает на исключение, которое отменяет сказанное прежде. В придаточных предложениях, начинающихся с unless, а также before, after, if, when, as soon as и т. п. , обычно не используется Future Indefinite.

bbc.co.uk/worldservice/learningenglish/grammar/learnit/learnitv272.shtml