Меняется ли сегодня свидетельство о рождении, при смене имени?

Нет. Свидетельство о рождении меняется лишь при обнаружении неточностей. Хотя.. .
2. При перемене имени родителями изменяются сведения о родителях в записи акта о рождении ребенка, не достигшего совершеннолетия.
3. При перемене фамилии обоими родителями и имени отцом изменяются фамилия и отчество ребенка, не достигшего возраста четырнадцати лет, в записи акта о его рождении.
При перемене фамилии одним из родителей фамилия их ребенка, не достигшего возраста четырнадцати лет, может быть изменена по соглашению родителей, а при отсутствии соглашения по указанию органа опеки и попечительства.
4. На основании внесенных изменений в запись акта о рождении ребенка, не достигшего совершеннолетия, выдается новое свидетельство о его рождении.

В соответствии с ФЕДЕРАЛЬНЫМ ЗАКОНОМ

ОБ АКТАХ ГРАЖДАНСКОГО СОСТОЯНИЯ

Статья 63. Изменения записей актов гражданского состояния в связи с
переменой имени:

На основании записи акта о перемене имени вносятся изменения в записи актов гражданского состояния, ранее составленные в отношении лица, переменившего имя, и выдаются новые свидетельства о государственной регистрации актов гражданского состояния с учетом внесенных в записи актов гражданского состояния изменений.
В случае, если перемена имени произведена органом записи актов гражданского
состояния в отношении гражданина Российской Федерации, иностранного
гражданина или лица без гражданства на территории Российской Федерации,
изменения в записи актов гражданского состояния, составленные в отношении
таких лиц компетентным органом иностранного государства с соблюдением
законодательства иностранного государства, не вносятся. На основании внесенных изменений в запись акта о рождении ребенка, не достигшего совершеннолетия, выдается новое свидетельство о его рождении.