Почему (-1)^(2/3) - комплексное число?

Question

Почему (-1)^(2/3) - комплексное число?

UZer Ученик (233), закрыт 10 лет назад

Здравствуйте!
Не могли бы вы объяснить, почему (-1)^(2/3) - комплексное число (по версии Maple и Google)? На фото приведен мой ход рассуждения
С наилучшими пожеланиями,
UZer

Дополнен 10 лет назад

Спасибо за оперативные ответы!
Дело в том, что мне нужно построить график функции y=(x-1)*x^(2/3), но Maple не строит его при отрицательном x. Есть какая-то возможность это исправить?

Answer 1

В матпакетах заложено правило: дробная степень отрицательного числа понимается как "главное значение комплексного корня", например, (-1)^(1/3) это НЕ (-1), а e^(i*PI/3).
Дело в том, что при нецелой степени положительного числа в анализе принято правило "любая степень положительного числа положительна", а для отрицательных чисел дробная степень допускается только для корней нечётной степени - и то как ИСКЛЮЧЕНИЕ.
Вообще в комплексном анализе любая нецелая степень любого числа - это множество значений, например, 1^(1/4) это ЧЕТЫРЕ числа: 1,-1, i, -i, потому что каждое из этих чисел при возведении в 4-ю степень дает 1.

Answer 2

Потому что кубический корень из единицы имеет ровно три корня. Один действительный (единичка), а два другие это -0,5+i*0,86....и -0,5-i*0,86....Учи ТФКП!
Корень степени n из числа это корень из модуля этого числа умножить на экспоненту от (i*ф+2*pi*K)/n где ф - аргумент (угол) комплексного числа.

Answer 3

Потому, что выражение x^(1/N) при x<>0 имеет ровно N комплексных корней. В твоем случае 1^(1/3) имеет 3 корня, один из которых вещественный (именно его ты и привёл), а ещё два - комплексные (их ты не нашёл).

Answer 4

z=(-1)^(2/3)=(cosπ+isinπ)^(2/3)=cos(2πn/3)+isin(2πn/3)=...
n=0; z=1
n=1; z=√3/2-i/2
n=2; z=-√3/2-i/2