существует ли правило, показывающее, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую высоту...

Такое правило существует для медиан треугольника. Если треугольник равносторонний, то это же правило справедливо и для высот (т. к. в правильном треугольнике высоты, медианы и биссектрисы совпадают). Формулируется оно так:
"Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины. "

CH / HC1 = cosC( b/cosB + a/cosA ) / c