Число N равно произведению 1000 простых чисел (не обязательно различных). Если каждый множитель в

Я не стал переделывать. Здесь для произведения 2014 простых чисел. Сама измени то, что нужно. На печать вывелось погано. Прежде всего, докажем следующую лемму.
Лемма.
Пусть натуральное число N=p_1 p_2…p_n, где 〖2≤p〗_1≤p_2≤⋯≤p_n- простые числа, причем число M=(p_1+1)(p_2+1)…(p_n+1) делится на N. Тогда, p_n≤3.
Доказательство леммы.
Отметим сразу же, что n≥2, так как, иначе, M не может делиться на N.
Допустим, что напротив, p_n≥5. Ясно, что p_n+1 на p_n делиться на может. Допустим, что p_(n-1)+1 делится на p_n. Тогда, согласно условию p_(n-1)≤p_n и потому p_(n-1)<p_n. Следовательно, p_(n-1)+1≤p_n. Если p_(n-1)+1<p_n, то p_(n-1)+1 не может делиться на p_n. Значит, p_(n-1)+1=p_n. Однако и это невозможно. В самом деле, если p_(n-1)=2, то p_(n-1)+1=3<p_n; если p_(n-1)≥3, то число p_(n-1)+1 не является простым, ибо четно. Таким образом, p_(n-1)+1 не может делиться на p_n. Аналогично, на p_n не могут делиться и остальные множители, если таковые есть. Но в таком случае и M не делится на N. Получили противоречие. Следовательно, p_n≤3 и лемма доказана.
Итак, пусть N=2^x 3^y и M=3^x 4^y. По условию
x+y=2014.
Для того, чтобы число M делилось на число N необходимо и достаточно выполнения следующих условий
{█(x+y=2014,@x≥y≥0,@2y≥x,@x,y∈Z.)┤
Из первого равенства получаем y=2014- x≥0 и потому
{█(x≥2014- x≥0,@4028- 2x≥x.)┤
С учетом целочисленности x это означает, что
1007≤x≤1342.Заметим, что условие 2014- x≥0 здесь выполнено автоматически. Итак, имеем 1342-1007+1=336 чисел, удовлетворяющих условию задачи

Моим ответом уже пользуются другие. Популярность растет не по дням, а по часам!))))))))
Хоть бы ссылку делали для порядка... а то ведь за свое выдает!))