Если я периодически живу в разных городах, можно ли купить роутер и когда нужно брать с собой, или нужны отдельные...

Да, можно для этого нужно выполнить несколько простых условий.
1) Роутер должен уметь подключаться к интернету по всем каналам, которые проведены в квартирах. В одних случаях, в квартиру входит ethernet провод, в других оптический кабель, в третьих ADSL-сединение.
2) Большинство роутеров поддерживают функцию сохранения конфигурации. Настраиваете соединение в каждой квартире и сохраняете данные настройки на флешке. Дальше загружаете конфигурацию в роутер и будет счастье.
3) Если приходится работать с одним ноутбуком, то возможно нужно настроить несколько сетевых подключений и активировать нужное по местую
4) Не помешает комплект проводов, чтобы перегружать роутеры без проблем и задержек.