Квадрат суммы цифр числа A равен сумме цифр числа A^2. Найдите все такие двузначные числа A.

число 22

таких чисел много: 1, 10, 100, 1000, 10000, и т. д.

Можно и без программы.

Пусть искомое число равно 10a+b (1≤a≤9, 0≤b≤9), тогда квадрат суммы его цифр равен (a+b)².
А квадрат самого числа равен (10a+b)² = 100a² + 20ab + b².

а) Если предположить, что при возведении исходного числа в квадрат не происходило переноса цифр в старшие разряды:
{ a²≤9
{ 2ab≤9
{ b²≤9,
то исходное равенство выполняется автоматически:
(a+b)² = a² + 2ab + b².
Как легко убедиться, полученная система неравенств имеет следующие решения:
a=1: b = 0, 1, 2, 3
a=2: b = 0, 1, 2
a=3: b = 0, 1
Таким образом, получаем решения исходной задачи:
10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30, 31

б) покажем, что других решений не существует.
Представим квадрат числа в виде десятичной записи:
(10a+b)² = 1000c + 100d + 10e + f,
где 0≤c,d,e,f≤9
(квадрат двузначного числа — число не более чем четырёхзначное) .
Тогда имеем:
f = b²−10k;
e = 2ab + k − 10l
d = a² + l − 10m
c = m
(k, l, m — неотрицательные целые числа)

Так как квадрат суммы цифр равен сумме квадратов цифр, получаем:
c + d + e + f = (a+b)²,
или
m + a² + l − 10m + 2ab + k − 10l + b² − 10 k = (a+b)²,
или, после приведения подобных членов:
k + l + m = 0 ⇒ отсюда k=l=m=0

Таким образом, переноса разпядов не происходит, и все решения сводятся к уже рассмотренному п. а.

ОТВЕТ: 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30, 31

:0