Есть разница между I don't have и I haven't

никакой

Есть. Особенно при разговоре. Например "У меня нет работы" - I do not have a job. Речь идет о неимении чего-то, т. е. используем с существительными (a job). haven't тут лучше не использовать. haven't нужно использовать только как вспомогательный глагол во временах Perfect. (т. е. со смысловыми глаголами, а не существительными) - I haven't seen her - Я ее не видел.

Уже давно отпало Have you a brother or a sister? Только с do или does. Do you have...?Haven't - для the Present Perfect Tense.

В традиционном британcком King's English у глагола TO HAVE особый статус - почти как у TO BE.. Тем паче оба являются вспомогательными
В частности, вопросы без вспомогательного глагола: "Have you a wife? Have you lived in London?" Как и в отрицаниях: "I have not a wife = I haven't a wife... I haven't lived in London".
Встречная тенденция - в General American: наряду с сохранением архаичных форм происходит опрощение TO HAVE. Как форма "to have got", так и подключение вспомогательного TO DO. Как и легализация вульгарного TO GET (got, gotten)

Do you have much coffee? - No, I don't. I have very little coffee. I don't have any coffee. - амер. с использованием вспомогательного глагола

Have you got much coffee? - No, I haven't. I've got very little coffee. I haven't got any coffee. - брит. БЕЗ участия вспомог. глагола

Итак, в значении "ИМЕТЬ" есть 2 варианта: с вспомогательным глаголом и без.
DO/DOES - американизм, американцы его используют с глаголом "иметь" в Present Simple ВСЕГДА.
Британцы же возьмут DO/DOES только с устойчивыми сочетаниями, в которых этот глагол HAVE утратил своё первоначальное значение "иметь", "обладать": to have brewakfast, to have lunch, to have dinner, to have a snack, to have a meal, to have a lesson, to have a meeting, to have an appointment, to have a bath, to have a shower, to have a smoke, to have a walk, to have a quarrel, to have a good time, to have fun, to have trouble, to have difficulty, to have a nap и т. д.

То есть про уроки, ужин и т. д и американцы, и британцы задать вопрос и сделать отрицание могут только с вспомогательным глаголом.

Do you always have breakfast? I don't usually have breakfast.

Так же вспомогательный глагол нужен МОДАЛЬНОМУ глаголу have to - вынужден, приходится. В отрицании - не надо, нет необходимости, не за чем что-то делать.
Без него никак.
I have to get up early. I don't have to get up early. Do you have to get up early?

Естественно, там где HAVE сам является вспомогательным глаголом (Present Perfect)? он сам выходит на 1 место в вопросах и "дружит" с отрицательной частицей not - They have already finished work. Have they finished work yet? They haven't finished work yet.