Почему в слове обижаешь пишется буква "е", если глагол обидеть второго спряжения?

Вы перепутали 2 глагола:
✔ обидеть, что сделать? – совершенного вида, 2-го спряжения, исключение;
✔ обижать, что делать? – несовершенного вида, 1-го спряжения, исключением не является.