Здравствуйте! как можно поставить счетчик на сайт, старой версии, как были раньше. Скриншот прилагается.

Помощь: Как получить и установить код счетчика?
Там говорится о возможности выбрать внешний вид логотипа счетчика, который можно установить на сайт.

Задать вопрос непосредственно службе поддержки можно через форму
http://top.mail.ru/feedback?id

Возможно, окажется чем-то полезным просмотр кода этого элемента на том сайте, который Вы привели в пример с помощью скрина: