Какую задачу перед архимедом поставил сиракузский царь гиерон

Ну, не "корона", а диадема, и не "царь", а тиран (должность так называлась, а по характеру, вроде бы, был относительно ничего дядька). А так - да: Гиерон заподозрил, что мастер, изготовивший диадему часть выделенного золота попятил, добавил медно-оловянной лигатуры и диадема, таким образом, получилась сильно дешевле.
Вот геометра (это тоже должность!) Архимеда и озадачили выяснением истины.
А поскольку масси диадемы и отпущенного количества золота совпадали, то Архимед решил пересчитать объёмы. С золотым слитком было просто: длина на ширину на высоту, а вот диадему так не померить. Вот он и сообразил свой знаменитый закон "на тело, погружённное... "