Кто благословлял детей перед свадьбой? Какие слова нужно говорить? Или какую молитву читать?

Тут дело не долга, а принятого в жизни православных и иных христиан обычая, подчеркивающего важность и ценность родительского благословения в моменты принятия серьезных жизненных решений. Сам акт родительского благословения, как Вы верно заметили, происходит перед свадьбой, НО - только после венчания. В этом случае родители, поздравляя обвенчавшихся, выказывают, как они могут свое одобрение выбора детей, пожелание им взаимной любви и верности, благопристойной христианской жизни, всяческого благополучия и славного потомства. В качестве зримого символа, который будет служить молодоженам напоминанием об этом, им передаются (обязательно освященные) иконы: мужу - образ Спасителя, жене - образ Богородицы.
Никакого специального "чина" подобного благословения не существует, ибо это не религиозный обряд, а благоверный обычай.